插值多项式的存在性和唯一性证明

一个插值逼近问题的一般性描述如下：

对于定义在区间$[a,b]$中的一般函数$f(x)$，已知其在区间上$n+1$个不同点$x_0,x_1,…,x_n$处的函数值为

$$y_i = f(x_i),i=0,1,...,n$$

需要在区间$[a,b]$上求一个多项式$P(x)$，使得

$$P(x_i)=y_i,i=0,1,...,n$$

下述定理解决了插值多项式$P(x)$的存在性和唯一性。

【定理】当$n+1$个插值节点$x_0,x_1,…,x_n$互不相同时，一定存在唯一的次数不超过$n$的多项式$P(x)$满足条件$P(x_i)=y_i$.

不妨设

$$P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$$

由条件$P(x_i)=y_i$可以得到关于$a_n,a_{n-1},…,a_0$的线性代数方程组

$$a_nx_i^n+a_{n-1}x_i^{n-1}+...+a_0=y_i,i=0,1,...,n$$

其系数矩阵

$$X=\begin{pmatrix} x_0^n & x_0^{n-1} & \cdots & 1 \\ x_1^n & x_1^{n-1} & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n^n & x_n^{n-1} & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}$$

是一个$n+1$阶的Vandermonde矩阵。由于$x_0,x_1,…,x_n$互不相同，Vandermonde矩阵$X$是非奇异矩阵。由Cramer法则，由于关于$a_n,a_{n-1},…,a_0$的线性代数方程组的系数矩阵$X$是非奇异矩阵，因此该线性代数方程组存在唯一解，即

$$\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} =X^{-1} \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$$

Q.E.D.